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Warum existieren einige Integrale nicht?

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Fasst man das Integral als Flächeninhalt unter einer Funktion f(x) auf, so existiert es für gewöhnliche Funktionen in R^n ohne Ausnahme. Das Problem ist, dass es nicht unbedingt eine elementare (Stamm-)Funktion F(x) gibt, die diesen Flächeninhalt abhängig von der Laufkoordinate x beschreibt. Warum es für einige Funktionen keine Stammfunktion gibt, bleibt eine offene Frage.

Alle (abschnittsweise) beliebig oft differenzierbaren Funktionen lassen sich durch Polynome oder Potenzreihen darstellen (u. U. abschnittsweise). Daher gibt es auch zu jeder eine Stammfunktion, die sich ebenfalls wie vorstehend beschrieben darstellen lässt. Sie lässt sich aber nicht in allen Fällen durch elementare Funktionen darstellen.

Es gibt auch Funktionen, die an sich kein Integral haben, z.B. die Charakteristische Funktion einer nicht messbaren Menge (deren Existenz sich aber nur unter Annahme des Auswahlaxioms beweisen lässt.). Was da oben bezüglich Potenzreihen steht, stimmt nur für analytische (bzw. auch stückweise analytische) Funktionen, nichtanalytische Funktionen, und damit insbesondere nicht stetige Funktionen, lassen sich nicht durch Potzenzreihen beschreiben.

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