Warum sind (y=3, x=5) und (y=3, x=-5) die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung y^3-x^2=2?

Das ist die Bachet-Gleichung. Dieses Problem hängt auch mit dem großen fermatschen Satz ( $a n + b n = c n$ ist nur für n = 2 ganzzahlig lösbar) zusammen. An dem Beweis sind schon Fermats Zeitgenossen und Leonhard Euler gescheitert. 1908 konnte Axel Thue nachweisen, dass $y 2 - x 3 = c$ für jede von Null verschiedene Ganzzahl c nur eine endliche Anzahl von ganzzahligen Lösungen für x und y hat.

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Aus Wikipedia:
Die Bachet-Gleichung (engl. Bachet's equation, nach Claude Gaspar Bachet de Meziriac (1581–1638), oder Mordell's equation, nach Louis Mordell) ist eine Gleichung in der Zahlentheorie, welche 1650 von Pierre de Fermat aufgestellt wurde und mit dem letzten fermatschen Satz zusammenhängt.
Sie lautet: y² − x³ = c
Interessant ist, wie viele Lösungen (ganzzahlige oder rationale) für x und y in Abhängigkeit von c möglich sind. Ist beispielsweise c = − 2, so gibt es nur zwei ganzzahlige Lösungen: y = 5 und x = 3, oder y = − 5 und x = 3
Nach meiner Rechnung ist 5² -3³ = -2; x und y vertauschen macht daraus auch keine andere Gleichung.

3. Dezember 2011 von Hardy42
Versionen
Es gibt unendlich viele nicht-ganzzahlige Lösungen: $x=\sqrt{y^3-2}$ .
Die Antwort sollte einen Beweis enthalten oder eine Quelle, wo einsolcher Beweis zu finden ist.

2. Dezember 2011 von Hardy42

Bravo!

25. Januar von Ein Wikia-Nutzer

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Warum sind (y=3, x=5) und (y=3, x=-5) die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung y^3-x^2=2?

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